Question

已知?ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F．若AE=3，AF=4，则CE-CF=

 

．

Answer 1

分析：首先可证得△ADE∽△ABF，又由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AB与AD的长，然后根据勾股定理即可求得DE与BF的长，继而求得答案．

解答：解：如图1：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∴△ADE∽△ABF，
∴

AD

AB

=

AE

AF

=

3

4

，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=6，AB=8，
∴DE=3

3

，BF=4

3

，
∴EC=CD-DE=8-3

3

，CF=BF-BC=4

3

-6，
∴CE-CF=（8-3

3

）-（4

3

-6）=14-7

3

；
如图2：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∴∠ADE=∠ABF，
∴△ADE∽△ABF，
∴

AD

AB

=

AE

AF

=

3

4

，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=6，AB=8，
∴DE=3

3

，BF=4

3

，
∴EC=CD+DE=8+3

3

，CF=BC+BF=6+4

3

，
∴CE-CF=（8+3

3

）-（6+4

3

）=2-

3

．
∴CE-CF=14-7

3

或2-

3

．

点评：本题主要考查的是平行四边形的性质．解题时，还借用了勾股定理这一知识点．