Question

14．已知直线l₁∥l₂∥l₃，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l₁，l₂，l₃上，若∠ACB=90°，l₁，l₂的距离为1，l₂，l₃的距离为3，
求：（1）线段AB的长；
（2）$\frac{BD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）过A作AN⊥直线l₃于N，过B作BM⊥l₃于M，根据全等三角形的判定得出△BMC≌△CNA，根据全等得出BM=CN，AN=CM，求出BM和CM，根据勾股定理求出BC、AC，再求出AB即可；
（2）根据平行线性质得出∠DBC=∠BCM，根据相似三角形的判定得出△BCD∽△CMB，得出比例式，求出BD，即可求出答案．

解答 解：（1）
过A作AN⊥直线l₃于N，过B作BM⊥l₃于M，
则∠BMC=∠ANC=∠BCA=90°，
∴∠BCM+∠MBC=90°，∠BCM+∠ACN=90°，
∴∠MBC=∠ACN，
在△BMC和△CNA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠ANC}\\{∠MBC=∠ACN}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BMC≌△CNA，
∴BM=CN，AN=CM，
∵l₁，l₂的距离为1，l₂，l₃的距离为3，
∴BM=CN=3，CM=AN=1+3=4，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；

（2）∵直线l₂∥直线l₃，
∴∠DBC=∠BCM，
∵∠BCD=∠BMC=90°，
∴△BCD∽△CMB，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{CM}$，
∴$\frac{BD}{5}$=$\frac{5}{4}$，
∴BD=$\frac{25}{4}$，
∵AB=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\frac{25}{4}}{5\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．