Question

如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．
（1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；
（2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；
（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；
（3）根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN，
=∠BAC-（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，
∴∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）=100°-80°=20°；

（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC，
=（∠B+∠C）-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=110°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=110°-70°=40°；

（3）当α＜90°时，∠EAN=180°-2α；
当α＞90°时，∠EAN=2α-180°．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．