Question

16．如图，已知直线y=kx与x轴的夹角为70°，P为y轴上一点，OP=6，Q为OP上一动点，M、N为直线y=kx上两动点，则PM+MQ+QN最小值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作点P关于直线y=kx的对称点P′，作点N关于y轴的对称点N₁，连接P′N₁，此时PM+MQ+QN=P′M′+M′Q′+Q′N1=P′N₁，即PM+MQ+QN=P′N₁最小，而P′N₁在P′N₂⊥P′N₁时的值最小，再根据∠POM=∠P′OM=∠N₁OP=20°、OP=OP′=6知∠P′ON₁=60°，由P′N₂=OP′cos∠P′ON₁可得答案．

解答 解：如图，作点P关于直线y=kx的对称点P′，作点N关于y轴的对称点N₁，连接P′N₁，

则当点Q位于P′N₁与y轴交点Q′的位置，点M位于P′N₁与直线y=kx交点M′的位置时，
PM+MQ+QN=P′M′+M′Q′+Q′N1=P′N₁，即PM+MQ+QN=P′N₁最小，
∵直线y=kx与x轴的夹角为70°，
∴∠POM=∠P′OM=∠N₁OP=20°，OP=OP′=6，
∴∠P′ON₁=60°，
当P′N₂⊥P′N₁时，P′N₂的值最小，P′N₂=OP′cos∠P′ON₁=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段、角是解题的关键．