Question

10．我们已经研究了“圆周角”，并且知道圆周角的角度等于它所对弧的度数的一半，如图1，∠A=$\frac{\widehat{BC}的度数}{2}$．现将研究对象“顶点在圆上的角”改为“顶点在圆外的角”．定义：顶点在圆外，并且两边都和圆有公共点的角叫做圆外角，例如：图2，∠P为圆外角．

∠P=$\frac{\widehat{AmB}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$

∠P=$\frac{\widehat{AC}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$

∠P=$\frac{\widehat{CD}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$

（1）如果以圆外角的两边与圆的公共点的个数作为分类标准，参照图2，请画出其它类型圆外角的示意图（要求：（请按需要选择下面的备用图，每一种类型画出一个示意图，标示相应字母，与图2同类型的不用再画）
（2）如果圆外角所夹的两条弧的度数分别为α、β（α＞β），例如，图2中，圆外角∠P所夹的弧$\widehat{AC}$的度数为α，$\widehat{AB}$的度数为β，试结合你所画的图形探究∠P与α、β之间的数量关系，将发现的结论直接写在对应图形下方的横线上．
（3）如图2，点P在⊙O外，PC边与⊙O相交于B，C两点，PA与⊙O相切于点A，所夹的弧$\widehat{AC}$，$\widehat{AB}$的度数分别为α、β（α＞β），求证：∠P=$\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$．
（4）如图3，AB为半圆直径，P为AB延长线上一个动点，过P作⊙O的切线，设切点为C，连接AC，作∠APC平分线交AC于D，猜想∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？并对猜想加以证明．

Answer 1

分析 （1）分为三种情况：当∠P的两边都和圆相切，当∠P的一边和圆相切，一边和圆相交，当∠P的两边都和圆相交于两点时，画出即可；
（2）根据圆周角定理和切线的性质结合图形得出即可；
（3）连接OB、OA、OC、AB，根据切线和圆周角定理求出∠CAD=∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$的度数=$\frac{1}{2}α$，∠ACP=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$$\widehat{AB}$的度数=$\frac{1}{2}β$，根据外角性质求出即可；
（4）由（3）可知∠APC=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$的度数-$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$的度数，根据角平分线定义求出∠APD=$\frac{1}{2}$∠APC=$\frac{1}{4}$$\widehat{AC}$的度数-$\frac{1}{4}$$\widehat{BC}$的度数，∠CAP=$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$的度数，根据三角形外角性质得出∠CDP=∠CAP+∠APD，代入求出即可．

解答 解：（1）如图1，∠P=$\frac{\widehat{AmB}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$，
，
如图2，∠P=$\frac{\widehat{AC}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$，
，
如图3，∠P=$\frac{\widehat{CD}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$，

（2）故答案为：$\frac{\widehat{AmB}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$，$\frac{\widehat{AC}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$，$\frac{\widehat{CD}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$；


（3）证明：连接OB、OA、OC、AB，如图4，

∵PA切⊙O于A，
∴∠CAD=∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$的度数=$\frac{1}{2}α$，
∵∠ACP=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$$\widehat{AB}$的度数=$\frac{1}{2}β$，
∴∠P=∠CAD-∠ACP=$\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$，
故答案为：$\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$；

（4）∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化，如图5，

证明：由（3）可知：∠APC=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$的度数-$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$的度数，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=$\frac{1}{2}$∠APC=$\frac{1}{4}$$\widehat{AC}$的度数-$\frac{1}{4}$$\widehat{BC}$的度数，
∵∠CAP=$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$的度数，
∴∠CDP=∠CAP+∠APD=$\frac{1}{4}$$\widehat{AC}$的度数-$\frac{1}{4}$$\widehat{BC}$的度数+$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$的度数=$\frac{1}{4}$$\widehat{AC}$的度数+$\frac{1}{4}$$\widehat{BC}$的度数，
即不论P点如何运动，∠CDP的度数总等于$\frac{1}{4}$$\widehat{AC}$的度数+$\frac{1}{4}$$\widehat{BC}$的度数，
所以∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．

点评 本题考查了切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理的应用，能正确根据圆周角定理进行推理是解此题的关键，用了分类讨论思想．