Question

2．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于B（0，6）．

（1）求S_△ABO．
（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角三角形BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
（3）如图②，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，试求OM+MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）先确定出OA=OB=6，从而求得△ABO的面积．
（2）先判断出△DEM≌△BDO得出EM=DO，MD=OB=OA=6，进而判断出AM=EM，即可得出∠OAF=45°，即可得出点F坐标，最后用待定系数法得出直线EA解析式．
（3）由已知可在线段OA上任取一点N，又由AF是∠OAE的平分线，再在AE作关于OF的对称点N′，当点N运动时，ON′最短为点O到直线AE的距离．由已知∠OAE=30°，得直角三角形，OA=6，所以得OM+NM=3．

解答 解：（1）∵直线AB与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于B（0，6）．
∴OA=6，OB=6，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
（2）如图1，过点E作EM⊥x轴于M，
∴∠MDE+∠DEM=90°，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB，∠BDE=90°，
∴∠MDE+∠BDO=90°，
∴∠DEM=∠BDO，
在△DEM和△BDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠BOD=90°}\\{∠DEM=∠BDO}\\{DE=DB}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△BDO，
∴EM=DO，MD=OB=OA=6，
∴AM=DM+AD=6+AD，
EM=OD=OA+AD=6+AD，
∴EM=AM，
∴∠MAE=45°=∠OAF，
∴OA=OF，
∴F（0，-6）
设直线EA解析式为y=kx-6，
∵A（-6，0），
∴-6k-6=0，
∴k=-1，
∴直线EA解析式为y=-x-6；
（3）如图2

过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，过点G作GN⊥OA，
连接MN，在线段OA上任取一点N，
∴OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N′之间线段的长．
当点N运动时，ON′最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长．
在Rt△OAG中，∠OAE=30°，OA=6，
∴OG=3，
∴OM+MN的最小值为3．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，全等三角形的判断和性质，对称的性质，解本题的关键是AM=EM，是一道比较简单的中考常考题．