Question

如图，直线AD：y₁=kx+b（k≠0）交坐标轴于点B和点C，交双曲线y₂=

m

x

（m≠0）于点A和点D，OB=OC=2，AB=BC．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）请你连接AO和DO，并求出△AOD的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可求出B和C两点的坐标，把其坐标分别代入y₁=kx+b（k≠0）求出k和b的值即可求出一次函数的解析式，过A作AE⊥OB，求出A点的坐标即可求出反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式求出D的坐标，即三角形OCD边OC上的过高求出，利用三角形的面积公式分别求出三角形AOC和三角形OCD的面积，进而求出△AOD的面积．

解答：解：（1）过A作AE⊥OB，
∵OB=OC=2，BO⊥CO，
∴B（-2，0），C（0，-2），BC=

OB 2+OC 2

=

8

=2

2

，
把B和C坐标分别代入y₁=kx+b（k≠0）得：

0=2k+b -2=b

，
∴

k=-1 b=-2

，
∴y₁=-x-2，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABE=∠EAB=45°，
∵AE=BE，
∵AB=BC，
∴AB=2

2

，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE=BE=2，
∴OE=OB+BE=4
∴A（-4，2）
∵点A在双曲线y₂=

m

x

（m≠0）上，
∴m=-4×2=-8，
∴y₂=-

8

x

；

（2）连接AO和DO，
∵

y=- 8 x y=-x-2

，
∴

x=-4 y=2

或

x=2 y=-4

，
则S_△AOC=

1

2

×OC×OE=

1

2

×2×4=4，S_△OCD=

1

2

×2×2=2，
∴S_△AOD=S_△AOC+S_△OCD=4+2=6．

点评：本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式和求反比例函数的解析式，也考查了如何求一次函数的解析式和反比例函数图象交点的求法以及三角形的面积公式