Question

15．如图，在平面直角坐标系中，经过A（1，3），P（0，b）（b＞0，b≠3）的直线交x轴于点B，经过P作PQ⊥AP，交x轴于点Q（m，0），作点P关于x轴的对称点为P′，连接AQ，QP′BP′
（1）当0＜b＜3时，用含b的代数式表示m；
（2）当BP′=PQ时，求b的值；
（3）是否存在b，△APQ与以P′、O、Q为顶点的三角形相似？若存在，请求出所有满足要求的b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AC⊥y轴于C，由题意得出：AC=1，CP=3-b，PO=b，OQ=m，证出∠APC=∠PQO，证明△ACP∽△POQ，得出比例式$\frac{OQ}{CP}=\frac{OP}{AC}$，得出OQ=3b-b²即可；
（2）证明四边形BPQP′是正方形，得出OQ=OP，①当0＜b＜3时，3b-b²=b，解得：b=2；②当b＞3时，b²-3b=b，解得：b=4；
（3）分情况讨论：①当0＜b＜3时，由题意得出△APQ与以P、O、Q为顶点的三角形相似；当∠PQO=∠AQP时，由三角形相似得出比例式，得出b的值；
当∠PQO=∠PAQ时，证出AQ∥y轴，得出OQ=AC=1，即3b-b²=1，解方程即可；
②当b＞3时；证出OQ=AC，得出方程：b²-3b=1，解方程即可．

解答 解：（1）过点A作AC⊥y轴于C，如图1所示：
根据题意得：AC=1，CP=3-b，PO=b，OQ=m，∠APQ=∠ACO=∠POQ=90°，
∴∠APC+∠OPQ=90°，∠PQO+∠OPQ=90°，
∴∠APC=∠PQO，
∴△ACP∽△POQ，
∴$\frac{OQ}{CP}=\frac{OP}{AC}$，
即$\frac{OQ}{3-b}=\frac{b}{1}$，
∴OQ=3b-b²，
∴m=3b-b²；
（2）根据题意得：BP′=BP，PQ=P′Q，
∵BP′=PQ，
∴BP′=BP=PQ=P′Q，
∴四边形BPQP′是菱形，
∵∠APQ=90°，
∴∠BPQ=90°，
∴四边形BPQP′是正方形，
∴OQ=OP，
当0＜b＜3时，3b-b²=b，
解得：b=2；
当b＞3时，b²-3b=b，
解得：b=4；
∴当BP′=PQ时，b的值为：2或4；
（3）存在；分情况讨论：
①当0＜b＜3时，
∵△ACP∽△POQ，△POQ≌△P′OQ，
∴△APQ与以P、O、Q为顶点的三角形相似；
当∠PQO=∠AQP时，
$\frac{OP}{AP}=\frac{OQ}{PQ}$，
即$\frac{b}{\sqrt{1+（3-b）^{2}}}=\frac{3b-{b}^{2}}{\sqrt{{b}^{2}+（3b-{b}^{2}）^{2}}}$，
解得：b=$\frac{3}{2}$；
当∠PQO=∠PAQ时，∠APC=∠PQO，
∴∠APC=∠PAQ，
∴AQ∥y轴，
∴OQ=AC=1，
即3b-b²=1，
解得：b=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$；
②当b＞3时，AQ与y轴交于D点，如图2所示：
∵∠OPQ=∠AQP，
∴PD=QD，
∵∠QPO+∠APO=∠PQA+∠PAQ，
∴∠APO=∠QAP，
∴PD=AD=QD，
∴$\frac{AC}{OQ}=\frac{AD}{QD}$=1，
∴OQ=AC，
∴b²-3b=1，
解得：b=$\frac{3±\sqrt{13}}{2}$，
∵b＞0，
∴b=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$；
综上所述：当b=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，或$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，或$\frac{3}{2}$时，△APQ∽△POQ．

点评 本题是相似形综合题目；考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论和证明三角形相似才能得出结果．