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    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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    （1）求等腰梯形DEFG的面积；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
    探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．
    分析：（1）利用辅助线的帮助过点GM⊥BC于M．推出2GF=BC，G为AB中点可知GM的值．从而求出梯形面积．
    （2）①BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=
    1
    2
    AB=2时，四边形BDG′G为菱形．
    ②本题要分两种情况解答（0≤x＜2
    		2
    以及2
    		2
    ≤x≤4
    		2
    ）．
    解答：解：如图，（1）过G点作GM⊥BC于M，
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    ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4
    		2
    ，G为AB中点
    ∴GM=
    		2

    又∵G，F分别为AB，AC的中点
    ∴GF=
    1
    2
    BC=2
    		2

    ∴S梯形DEFG=
    1
    2
    （2
    		2
    +4
    		2
    ）×
    		2
    =6
    ∴等腰梯形DEFG的面积为6

    （2）①能为菱形．
    如图：
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    由BG∥DG′，GG′∥BC
    ∴四边形BDG′G是平行四边形
    当BD=BG=
    1
    2
    AB=2时，四边形BDG′G为菱形
    此时可求得x=2，
    ∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形
    ②分两种情况
    1、当0≤x＜2
    		2
    时，
    方法一：
    ∵GM=
    		2
    ，
    ∴S?BDG′G=
    		2
    x
    ∴重叠部分的面积为y=6-
    		2
    x
    ∴当0≤x＜2
    		2
    时，y与x的关系式为y=6-
    		2
    x
    方法二：
    当0≤x＜2
    		2
    时，
    ∵FG′=2
    		2
    -x，DC=4
    		2
    -x，GM=
    		2

    ∴重叠部分的面积为y=
    (2
    		2
    -x)+(4
    		2
    -x)
    2
    ×
    		2
    =6-
    		2
    x
    2、当2
    		2
    ≤x≤4
    		2
    时，
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    设FC与DG′交于点P，则∠PDC=∠PCD=45°
    ∴∠CPD=90°，PC=PD
    作PQ⊥DC于Q，则PQ=DQ=QC=
    1
    2
    (4
    		2
    -x)
    ∴重叠部分的面积为y=
    1
    2
    ×
    1
    2
    (4
    		2
    -x)    ×（4
    		2
    -x）=
    1
    4
    x2-2
    		2
    x+8
    点评：此题主要考查勾股定理、三角形中位线、等腰梯形的性质及菱形性质等知识点的综合运用，要求学生对所学知识能灵活运用．
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    （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
    （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
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    如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=
    1
    4
    x2-6    与直线y=
    1
    2
    x    相交于A，B两点．
    （1）求线段AB的长；
    （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；
    （3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式
    1
    OC2
    +
    1
    OD2
    =
    1
    OM2
    是否成立；
    （4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：
    1
    a2
    +
    1
    b2
    =
    1
    h2
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．试探究线段FD、FE的数量关系，并加以证明．
    说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，可以从图2、3中选取一个，并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教网
    （1）求AA1的长；
    （2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
     
    ；
    （3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
     
    ；
    （4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
     
    ．

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