Question

10．二次函数y=a（x-4）²-4（a≠0）的图象在1＜x＜2这一段位于x轴的下方，在7＜x＜8这一段位于x轴的上方，则a的值为$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，在7＜x＜8这一段位于x轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在0＜x＜1这一段位于x轴的上方，而图象在1＜x＜2这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（1，0），然后把（1，0）代入y=a（x-4）²-4（a≠0）可求出a的值．

解答 解：∵抛物线y=a（x-4）²-4（a≠0）的对称轴为直线x=4，
而抛物线在7＜x＜8这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在0＜x＜1这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（1，0），
把（1，0）代入y=a（x-4）²-4（a≠0）得9a-4=0，解得a=$\frac{4}{9}$．
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．