Question

15．两个反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞1）和y=$\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点B，BE⊥x轴于点E，当点P在y=$\frac{k}{x}$图象上运动时，以下结论：①BA与DC始终平行；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不会发生变化；④△OBA的面积等于四边形ACEB的面积．其中一定正确的是①③④（填序号）

Answer 1

分析 设出点P的坐标，由此可得出A、C、B、D点的坐标，由点的坐标即可表示出各线段的长度，根据线段间的比例关系即可得出BA∥DC，即①成立；找出当PA=PB时，m的值，由此发现②不一定成立；③根据反比例函数系数k的几何意义可得出三角形OBD、OAC以及矩形OCPD的面积，分割图形即可得出S_{四边形PAOB}=k-1，即③成立；根据各边长度计算出S_梯形BECA，结合三角形的面积公式求出S_△OBA，发现二者相等，由此得知④成立．综上即可得出结论．

解答 解：设点P的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），则点A（m，$\frac{1}{m}$），点C（m，0），点B（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），点D（0，$\frac{k}{m}$），
∴PB=m-$\frac{m}{k}$=$\frac{k-1}{k}m$，PD=m，PA=$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{k-1}{m}$，PD=m，PC=$\frac{k}{m}$，
∵$\frac{PB}{PD}$=$\frac{k-1}{k}$，$\frac{PA}{PC}$=$\frac{k-1}{k}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴BA∥DC，①成立；
∵PB=$\frac{k-1}{k}m$，PA=$\frac{k-1}{m}$，
∴当m²=k时，PA=PB，②不成立；
S_矩形OCPD=k，S_△OBD=$\frac{1}{2}$，S_△OAC=$\frac{1}{2}$，
S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OBD=k-1，
∵k为固定值，
∴③成立；
S_梯形BECA=$\frac{1}{2}$（AC+BE）•EC=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{k}{m}$）•（m-$\frac{m}{k}$）=$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，S_△OBA=S_{四边形PAOB}-S_△PAB=k-1-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{m}{k}$）•（$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$）=$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，
∴S_梯形BECA=S_△OBA，④成立．
综上可知：一定正确的为①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是设出点P坐标，表示出其他各点的坐标．本题属于中档题，难度不大，但运算过程较繁琐，解决该题型题目时，结合点的坐标以及反比例函数系数k的几何意义，表示出来图形各部分的面积是关键．