如图,抛物线的顶点为H,与轴交于A、B两点(B点在A点右侧),点H、B关于直线:对称,过点B作直线BK∥AH交直线于K点.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线上;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)将此抛物线向上平移,当抛物线经过K点时,
设顶点为N,求出NK的长.
解:1)依题意,得, ………1分
解得,
∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(﹣3,0),B点坐标为(1,0).………2分
证明:∵直线:
当时,
∴点A在直线上. ………3分
(2)解:∵点H、B关于过A点的直线:对称,
∴ ………4分
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
则,
∴顶点 ………5分
代入抛物线解析式,得
解得
∴抛物线解析式为 ………6分
(3)连结HK,可证得四边形HABK是平行四边形
∴HK∥AB,HK=AB
可求得K(3,2), ………7分
设向上平移K个单位,抛物线经过点K
∴+K
把K(3,2)代入得:K=8 ………8分
在Rt△NHK中,∵NK=8,HK=4 由勾股定理得
NK的长是 ………9分
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