Question

如果关于x的不等式（a-1）x＜a+5和2x＜4的解集相同，则a的值为

 

．
（1）一变：如果

(a-1)x＜a+5 2x＜4

的解集是x＜2，则a的取值范围是

 

；
（2）二变：如果

2x＜4 x≥1 x＜ a+5 a-1

的解集是1≤x＜2，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）解出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围；
（2）解出不等式组的解集，与已知解集1≤x＜2比较，可以求出a的取值范围．

解答：解：2x＜4的解集为x＜2，
当a＞1时，（a-1）x＜a+5变形为x＜

a+5

a-1

，
由于不等式的解集相同，故

a+5

a-1

=2，
解得a=7；
（1）在（a-1）x＜a+5中，
若a＜1，则解得x＞

a+5

a-1

，
不等式的解集就为2＞x＞

a+5

a-1

了，与原题矛盾，所以a＞1．
∴（a-1）x＜a+5的解集为x＜

a+5

a-1

．
根据“同小取小”的原则可得

a+5

a-1

≥2，
解得：a≤7．
当a=1时，x＜2符合题意，
∴a的取值范围是1≤a≤7；

（2）由2x＜4得：x＜2，
又∵该不等式的解集为1≤x＜2．
根据“同小取小”的原则可得

a+5

a-1

≥2．
解得a≤7，
∴a的取值范围是1＜a≤7．
故答案为：7；1≤a≤7；1＜a≤7．

点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．