Question

一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设F点的坐标为（5，y_F）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．

解答：解：（1）根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为y=ax²+c，
将B，C的坐标代入y=ax²+c，
得

6=c 0=100a+c

解得

a=- 3 50 c=6

．
所以抛物线的表达式y=-

3

50

x²+6．

（2）可设F（5，y_F），于是
y_F=-

3

50

×5²+6=4.5
从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米．

（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，
则G点坐标是（7，0）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则y_H=-

3

50

×7²+6=3.06＞3．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．