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(2013•阜宁县一模)在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法.如类比、转化、从特殊到一般等思想方法,如下是一个案例,请补充完整.
题目:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F在线段AE上,BF的延长线交射线CD于点G,若
AF
EF
=3
,求
CD
CG
的值.

(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则易求
AB
EH
的值是
3
3
CG
EH
的值是
2
2
,从而确定
CD
CG
的值是
3
2
3
2

(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若
AF
EF
=m
(m>0),则
CD
CG
的值是
m
2
m
2
.(用含m的代数式表示),写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图3,在梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上的一点,AE和BD相交于F,若
AB
CD
=a
BC
BE
=b
(a>0,b>0),则
AF
EF
的值是
ab
ab
.(用含a、b的代数式表示)写出解答过程.
分析:(1)过E点作平行线,构造相似三角形,利用相似三角形和中位线的性质,分别将各相关线段均统一用EH来表示,最后求得比值;
(2)先作EH∥AB交BG于点H,得出△EFH∽△AFB,即可得出
AB
EH
=
AF
EF
=m,再根据AB=CD,表示出CD,根据平行线的性质得出△BEH∽△BCG,即可表示出
CG
EH
=
BC
BE
,从而得出
CD
CG
的值;
(3)先过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,得出EH∥AB∥CD,根据EH∥CD,得出△BCD∽△BEH,即可求出CD=bEH,再根据
AB
CD
=a
,得出AB=aCD=abEH,再进一步证出△ABF∽△EHF,从而得出
AF
EF
的值.
解答:解:(1)过点E作EH∥AB交BG于点H,
则有△ABF∽△HEF,
AB
EH
=
AF
EF

∴AB=3EH.
∵平行四边形ABCD中,EH∥AB,
∴EH∥CD,
又∵E为BC中点,
∴EH为△BCG的中位线,
∴CG=2EH,
CD
CG
=
AB
CG
=
3EH
2EH
=
3
2

故答案为:3,2,
3
2


(2)作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB,
AB
EH
=
AF
EF
=m,
∴AB=mEH.
∵AB=CD,
∴CD=mEH.
∵EH∥AB∥CD,
∴△BEH∽△BCG.
CG
EH
=
BC
BE
=2,
∴CG=2EH.
CD
CG
=
mEH
2EH
=
m
2

故答案为:
m
2


(3)过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则有EH∥AB∥CD,
∵EH∥CD,
∴△BCD∽△BEH,
CD
EH
=
BC
BE
=b,
∴CD=bEH.
AB
CD
=a,
∴AB=aCD=abEH.
∵EH∥AB,
∴△ABF∽△EHF,
AF
EF
=
AB
EH
=
abEH
EH
=ab;
故答案为:ab.
点评:此题考查了相似性的综合,用到的知识点是相似形的判定与性质、平行四边形的性质、中位线的性质,解题的关键是根据题意画出图形,再根据有关性质和定理求出各线段的比值.
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