Question

如图，点P、Q是直线y1=

1

2

x+2与双曲线y2=

k

x

在第一三象限内的交点，直线y1=

1

2

x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=15，Q点的横坐标是-10．
（1）求k的值；
（2）求△POQ的面积；
（3）当y₁＞y₂时自变量x的取值范围是

-10＜x＜0或x＞6

（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）先根据一次函数的解析式求出A、C两点的坐标，根据P在一次函数的图象上设出P点及B点的坐标，根据AB+PB=15求出P点坐标，进而求出反比例函数的解析式；
（2）根据P、A、B三点坐标即可求出△ABP的面积及△ABC的面积．二者之差即为△PBC的面积；
（3）利用交点P、Q的坐标即可得出y₁＞y₂时自变量x的取值范围．

解答：解：（1）∵A、C为直线y₁=

1

2

x+2与x轴、y轴的交点，
∴A（-4，0），C（0，2），
设B点坐标为（x，0），
∵P是一次函数y₁=

1

2

x+2上的点，PB垂直于x轴，
∴P点坐标为（x，

1

2

x+2），
∴AB+PB=|OA|+|OB|+|PB|=4+x+

1

2

x+2=

3

2

x+6，
∵AB+PB=15，
∴

3

2

x+6=15，解得，x=6，
∴P点坐标为（6，5），
∵P在双曲线y₂=

k

x

上，
∴k=6×5=30；

（2）∵y=

1

2

x+2，
∴当x=-10时，y=

1

2

×（-10）+2=-3，
∴点Q的坐标为（-10，-3）．
∴S_△POQ=S_△AOP+S_△AOQ=

1

2

×4×5+

1

2

×4×3=16，
即△POQ的面积为16；

（3）∵点P、Q是直线y₁=

1

2

x+2与双曲线y₂=

30

x

的交点，
而P（6，5），Q（-10，-3），
∴当y₁＞y₂时自变量x的取值范围是-10＜x＜0或x＞6．
故答案为-10＜x＜0或x＞6．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比较函数值的大小，三角形的面积等知识，具有一定的综合性，难度适中，利用数形结合思想是解题的重点．