Question

7．已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴交于A、B，与y轴交于点C，连结AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF．若C（0，4），B（4，0）且AO=BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，则点E所走过的路线长是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）把C（0，4），B（4，0）的坐标代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c，把问题转化为解方程组即可
（2）首先证明△ABC是等腰直角三角形，再证明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）先证明△ODC≌△DME（AAS），推出DM=OC=4，OD=EM，由OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，推出BM=EM，由∠EMB=90°，推出∠MBE=∠MEB=45°，由此即可解决问题．
（4）由（3）知，点E在射线BE上，当点D与点B重合时，BE=BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）把C（0，4），B（4，0）的坐标代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-4+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+4；

（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如图，又∵四边形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．
∵∠ODC+∠EDM=90°，∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠CDO=∠DEM，
在△ODC和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠EMD}\\{∠ODC=∠MED}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△DME（AAS），
∴DM=OC=4，OD=EM，
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，点E在射线BE上，当点D与点B重合时，BE=BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长是4$\sqrt{2}$，
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定与性质、正方形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，（4）中弄清点E的轨迹是线段是关键，属于中考压轴题．