Question

8．已知x₁，x₂是一元二次方程2x²-5x+2=0的两个实数根，不解方程，求下列各式的值．
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；
（2）x₁²x₂+x₁x₂²；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=1．
（1）先通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；
（2）根据x₁²•x₂+x₁•x₂²=x₁•x₂（x₁+x₂）即可求解；
（3）由根与系数的关系，将$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$转化为只含x₁+x₂和x₁•x₂的形式，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=1，
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{5}{2}$；
（2）x₁²•x₂+x₁•x₂²
=x₁•x₂（x₁+x₂）=$\frac{5}{2}$；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{17}{4}$．

点评 此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）如果方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．