Question

16．如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象的一个交点为A（1，m），过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象交于点D（n，-2）．
（1）k₁和k₂的值分别是多少？
（2）直线AB，BD分别交x轴于点C，E，若F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A在直线AC上，可求出点A的坐标，根据点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k₁的值．由BD⊥AC，通过角的计算可得出∠BEC=∠OBC，从而得出△BEC∽△OBC，根据相似三角形的性质可求出点E的坐标，再根据点B、E的坐标利用待定系数法即可求出直线BD的解析式，从而可得出点D的坐标，由点D的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k₂的值；
（2）由点A、C、E的坐标可得出AC、AE、CE的长度，由此可得出AE=CE，即∠EAC=∠ECA，再根据同角的余角相等可得出∠EAC=∠DBF，从而得出点F在点B的下方，设点F（0，t），结合点B、D的坐标即可得出BF、BD的长度，结合△BDF∽△ACE利用相似三角形的性质即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可求出t值，从而得出点F的坐标．

解答 解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y=2x+2的图象上，
∴m=2+2=4，
∵点A（1，4）在反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象上，
∴k₁=1×4=4；
∵BD⊥AB，
∴∠BCE+∠BEC=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠BEC=∠OBC，
∴△BEC∽△OBC，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{BC}{OC}$．
∵已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与x轴交于点C，
∴B（0，2），C（-1，0），
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OB=2，OC=1，
∴CE=$\frac{BC•CB}{OC}$=5，
∴E（4，0）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∵点D（n，-2）在直线BD上，
∴-2=-$\frac{1}{2}$n+2，解得：n=8，
∵点D（8，-2）在反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k₂=8×（-2）=-16．
（2）∵A（1，4），C（-1，0），E（4，0），
∴CE=4-（-1）=5，AE=$\sqrt{（1-4）^{2}+（4-0）^{2}}$=5，AC=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠EBO+∠CBO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠EBO=∠BCO=∠EAC=∠DBF，
∴点F在点B的下方．
设点F（0，t），B（0，2），D（8，-2），
∴BF=2-t，BD=$\sqrt{{8}^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵△BDF∽△ACE，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{BD}{AC}$，
∴BF=2-t=$\frac{BD•AE}{AC}=\frac{4\sqrt{5}×5}{2\sqrt{5}}$=10，
解得：t=-8．
∴当F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE时，点F的坐标为（0，-8）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点A、D的坐标；（2）找出关于t的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用相似三角形的性质找出方程是关键．