Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，下列结论中错误的是（　　）

• A． DE平分∠BDC
• B． △ABC∽△BDC∽△DEC
• C． $\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先求出△ABC，△BDC，△DEC的各个内角度数，即可判定A、B正确，设AB=AC=x，BD=BC=AD=y，由△BDC∽△ABC，得BC²=CD•CA，即y²=（x-y）•x，即（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$-1=0，求出$\frac{y}{x}$的值即可判断．

解答 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠A=36°，∠DEC=∠ABC=72°，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDE=∠EDC=36°，故A正确，
∵△ABC，△BDC，△DEC的内角都是36°，72°，72°，
∴△ABC∽△BDC∽△DEC，故B正确，
设AB=AC=x，BD=BC=AD=y，
∵△BDC∽△ABC，
∴BC²=CD•CA，
∴y²=（x-y）•x，
∴y²=x²-xy，
∴（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$-1=0，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故C正确，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，故D错误，
故选D．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、一元二次方程等知识，解题的关键是求出图中各个角的度数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．