Question

已知二次函数y=x²-（2k-1）x+k²-k   （k为常数）
（1）若该抛物线的对称轴为x=

3

2

，求该抛物线的顶点坐标；
（2）小明说：“不论k取何值时，该抛物线与x轴总有两个交点”，你同意这种说法吗？请说明理由；
（3）求出该抛物线与坐标轴的交点（用k的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）根据对称轴方程可求出k的值，得到抛物线的解析式为y=x²-3x+2，然后配方得到顶点式，可确定顶点坐标；
（2）计算出△=1，然后根据△的意义进行判断；
（3）令y=0得到关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-k=0，然后利用求根公式法解方程即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标．

解答：解：（1）∵对称轴为直线x=-

-(2k-1)

2

=

3

2

，
∴k=2，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x+2=（x-

3

2

）²-

1

4

，
∴抛物线的顶点坐标为（

3

2

，-

1

4

）；

（2）同意．理由如下：
∵△=（2k-1）²-4（k²-k）=1＞0，
∴不论k取何值时，该抛物线与x轴总有两个交点；

（3）令y=0，则x²-（2k-1）x+k²-k=0，
∵△=1，
∴x=

2k-1± 1

2×1

，解得x₁=k，x₂=k-1，
∴该抛物线与坐标轴的交点为（k，0）、（k-1，0）．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；顶点式y=a（x--

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，对称轴为直线x=-

b

2a

；顶点坐标为（--

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．