Question

5．对于平面直角坐标系xoy中的直线l和⊙C，给出定义：若⊙C上存在两个点A、B，直线l上存在点P，使得∠APB=90°，则称直线l为⊙C的“线”，点P为“点”．
（1）已知⊙O的半径为1，
①直接写出直线l：y=x上的3个“点”的坐标；
②判断直线l：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-2是否为⊙O的“线”，并说明理由；
③若直线l：y=kx-2（k≠0）是⊙O的“线”，求k的取值范围．
（2）已知直线y=$\frac{3}{4}$x-3和点C（2，1），以C为圆心，r为半径作⊙C，若直线l是有唯一“点”的⊙C的“线”，求r的值．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：点A、B、C均为“点；
（2）如图2所示，过点O作OP⊥DC，垂足为P，过点P作圆O的切线PB、PA．先求得OP=$\sqrt{3}$，然后可求得sin∠OPB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而可知∠OPB＜45°，直线l不是⊙O的“线”；
（3）如图3所示：过点P作PB、PA与圆O相切．首先证明四边形OAPB为正方形，从而可得到点P的坐标为（1，-1），将x=1，y=-1代入y=kx-2得k=1，当k≥1时，直线y=kx-2（k≠0）是⊙O的“线”；由图形的对称性可知当k≤-1时，直线y=kx-2（k≠0）是⊙O的“线”；
（4）如图4所示：过点C作CP⊥l，垂足为P，首先证明四边形CAPB为正方形，从而得到BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC，设CP的解析式为y然后求得直线PC的解析式为y=-$\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}$从而可求得点P的坐标，利用两点间的距离公式即可求得点PC的长，从而可求得圆的半径的长度．

解答 解：（1）如图1所示；

由直径所对的圆周角为90°可知，点B、C为“点．
∵OB=1，
∴点B的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、点C的坐标为（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
根据图形可知A为“点．点A的坐标为（1，1）．
②直线不是⊙O的“线”．

理由：如图2所示，过点O作OP⊥DC，垂足为P，过点P作圆O的切线PB、PA．
令直线y=0得：$\frac{\sqrt{3}}{3}x-2$=0，解得：x=2$\sqrt{3}$．
∴OC=2$\sqrt{3}$．
在Rt△OCD中，tan∠OCD=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠OCD=30°．
∴∠DOP=60°．
在Rt△OPD中，$\frac{OP}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{OP}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OP=$\sqrt{3}$．
∵BP是圆O的切线，
∴OB⊥PB．
∴sin∠OPB=$\frac{OB}{OP}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵$\frac{\sqrt{3}}{3}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OPB＜45°．
∴∠BPA＜90°．
∴直线l不是⊙O的“线”．
③如图3所示：过点P作PB、PA与圆O相切．

∵PB、PA与圆O相切，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
由题意可知，若直线l要刚好是⊙O的“线”，需要点P到⊙O的两条切线PA和PB之间所夹的角为90°．
∴∠OAP=∠OBP=∠APB=90°．
∴四边形OAPB为矩形．
又∵OB=OA，
∴四边形OAPB为正方形．
∴点P的坐标为（1，-1）．
将x=1，y=-1代入y=kx-2得k=1．
∴当k≥1时，直线y=kx-2（k≠0）是⊙O的“线”；
由图形的对称性可知当k≤-1时，直线y=kx-2（k≠0）是⊙O的“线”．
故k的取值范围是k≥1或k≤-1．
（4）如图4所示：过点C作CP⊥l，垂足为P．

∵直线l是有唯一“点”的⊙C的“线”，
∴PB、PA与圆C相切．
∴∠CAP=∠CBP=∠APB=90°．
∴四边形CAPB为矩形．
又∵CB=CA，
∴四边形CAPB为正方形．
∴BC=BP．
∴∠CPB=45°．
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC．
设CP的解析式为y=$-\frac{4}{3}x+b$，将x=2，y=1代入得：b=$\frac{11}{3}$．
∴直线PC的解析式为y=-$\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}$．
将y=$\frac{3}{4}x-3$与y=-$\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}$联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3.2}\\{y=0.6}\end{array}\right.$
所以PC=$\sqrt{（3.2-2）^{2}+（1+0.6）^{2}}$=$\sqrt{1．{2}^{2}+1．{6}^{2}}=2$．
∴BC=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
∴r=$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等知识，注意临界点位置的应用是解题关键．