Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，点E在AB边上，CE交BD于点F，BE=BF，EG⊥AC于点G，若EG=2，CD=3，则线段EF的长为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，EK⊥BD于K．首先证明△CEG≌△CEH，推出CH=CG，EH=EG=2，△ABD≌△ACH，推出BD=CH=CG，AH=AD，推出BH=CD=3，设EK=DG=x，则CG=BD=3+x，DK=EG=2，推出BK=x+1，在Rt△EKB中，利用勾股定理得到（x+1）²+x²=5²，求出x的值，再利用勾股定理求出EC，然后证明EF=CF即可．

解答 解：作CH⊥AB于H，EK⊥BD于K．
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴EG∥BD，
∴∠GEC=∠BFE，
∵BE=BF，
∴∠BEC=∠BFE=∠GEC，
在△CEG和△CEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEG=∠CEH}\\{∠CGE=∠CHE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△CEH（AAS），
∴CH=CG，EH=EG=2，
在△ABD和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADB=∠AHC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH（AAS），
∴BD=CH=CG，AH=AD，
∴BH=CD=3，设EK=DG=x，则CG=BD=3+x，DK=EG=2，
∴BK=x+1，
在Rt△EKB中，（x+1）²+x²=5²，
∴x=3或-4（舍弃），
∴DG=3，CG=6，
∴CE=2$\sqrt{10}$，
∵BD∥EG，CD=DG=3，
∴EF=CF=$\sqrt{10}$，
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，属于中考常考题型．