Question

阅读并回答下列问题．
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求． 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？即求：1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³的值．如何求它的值呢？
设s=1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³；
则2s=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³）=2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³+2⁶⁴；
两式相减得s=2⁶⁴-1．
问题1：求1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹⁴的值．
问题2：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，试问尖曾头几盏灯？
（注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的2倍；“尖头：指塔顶层．）答：尖头有

 

盏灯？

Answer 1

考点：有理数的乘方

专题：阅读型,规律型

分析：问题1：根据题目信息，设s=1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹⁴，表示出5s，再相减计算即可得解；
问题2：设尖头有x盏灯，然后列出方程求解即可．

解答：解：问题1：设s=1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹⁴，
则5s=5（1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹⁴）=5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹⁴+5²⁰¹⁵，
两式相减得4s=5²⁰¹⁵-1，
s=

52015 -1

4

；

问题2：设尖头有x盏灯，由题意得，（2⁷-1）x=381，
解得x=3，
答：尖头有3盏灯．
故答案为：3．

点评：本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和方法是解题的关键．