Question

1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．
（1）当AB=2时，求△GEC的面积；
（2）求证：AE=EF．

Answer 1

分析 （1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=$\frac{1}{2}$即可求得S_△GEC；
（2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；

解答 解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，
∴BE=EC=1，
∵AE⊥EF，
∴△ABE∽△ECG，
∴AB：EC=BE：GC，
即：2：1=1：GC，
解得：GC=$\frac{1}{2}$，
∴S_△GEC=$\frac{1}{2}$•EC•CG=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；

（2）证明：取AB的中点H，连接EH；
∵ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；

点评 此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．