Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）证明：DE=BC．
（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥DE，证出DE∥BC，再由CE∥AB，证出四边形BCED是平行四边形，即可得出结论；
（3）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，由三角函数求出DF即可．

解答 （1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）证明：∵四边形ADCE为菱形，
∴AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥BC，
又∵CE∥AB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴DE=BC；
（3）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
又∵CD=BC=6，
∴在Rt△CDF中，DF=CDsin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．