【题目】如图,在中,对角线AC,BD交于点O,E是AD上任意一点,连接EO并延长,交BC于点F,连接AF,CE.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若,
°,
.
①直接写出的边BC上的高h的值;
②当点E从点D向点A运动的过程中,下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中,正确的是
A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
【答案】(1)见解析;(2)①;②D
【解析】
(1)由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC,AO=CO,根据“AAS”证明△AOE≌△COF,可得OE=OF,从而可证四边形AFCE是平行四边形;
(2)①作AH⊥BC于点H,根据锐角三角函数的知识即可求出AH的值;
②根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可.
(1)证明:在中,对角线AC,BD相交于点O.
∴,
.
∴,
.
∴.
∴.
∵,
,
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)①作AH⊥BC于点H,
∵AD∥BC,∠DAC=60°,
∴∠ACF=∠DAC=60°,
∴AH=AC·sin∠ACF=,
∴BC上的高h=;
②在整个运动过程中,OA=OC,OE=OF,
∴四边形AFCE恒为平行四边形,
E点开始运动时,随着它的运动,∠FAC逐渐减小,
当∠FAC=∠EAC=60°时,即AC为∠FAE的角平分线,
∵四边形AFCE恒为平行四边形,
∴四边形AFCE为菱形,
当∠FAC+∠EAC=90°时,即∠FAC=30°,
此时AF⊥FC,
∴此时四边形AFCE为矩形,
综上,在点E从点D向点A运动过程中,四边形AFCE先后为平行四边形、菱形、平行四边形、矩形、平行四边形.
故选D.
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【题目】某课外研究小组为了解学生参加课外体育活动的情况,采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名同学的兴趣爱好(每人只能选其中一项),并将调查结果绘制成统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次考察中一共调查了 名学生,请补全条形统计图;
(2)被调查同学中恰好有5名学来自初一12班,其中有2名同学选择了篮球,有3名同学选择了乒乓球,曹老师打算从这5名同学中选择两同学了解他们对体育社团的看法,请用列表法或画树状图法,求选出的两人恰好为一人选择篮球、一人选择乒乓球的概率.
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【题目】透明的口袋里装有3个球,这3个球分别标有数字1、2、3,这些球除了数字外都相同。
(1)如果从袋中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少?(3分)
(2)小明和小东玩摸球游戏,游戏规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后放回,搅匀后再由小东随机摸出一个球,记下球的数字.谁摸出的球的数字大,谁获胜.现请你利用树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平?并说明理由。(6分)
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【题目】在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数,记录如下:
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表
组别 | 步数分组 | 频数 |
A | 5500≤x<6500 | 2 |
B | 6500≤x<7500 | 10 |
C | 7500≤x<8500 | m |
D | 8500≤x<9500 | 3 |
E | 9500≤x<10500 | n |
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:m= ______ ,n= ______ ;
(2)补全频数发布直方图;
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在______ 组;
(4)若该团队共有120人,请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.
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【题目】【数学概念】
若四边形ABCD的四条边满足ABCD
AD
BC,则称四边形ABCD是和谐四边形.
【特例辨别】
(1)下列四边形:①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形.其中一定是和谐四边形的是________.
【概念判定】
(2)如图①,过⊙O外一点P引圆的两条切线PS、PT,切点分别为A、C,过点P 作一条射线PM,分别交⊙O于点B、D,连接AB、BC、CD、DA.求证:四边形ABCD是和谐四边形.
【知识应用】
(3)如图②,CD是⊙O的直径,和谐四边形ABCD内接于⊙O,且BCAD.请直接写出AB与CD的关系.
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【题目】树叶有关的问题
如图,一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度(不含叶柄),树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度,树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值。
某同学在校园内随机收集了A树、B树、C树三棵的树叶各10片,通过测量得到这些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据,计算长宽比,理如下:
表1 A树、B树、C树树叶的长宽比统计表
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
A树树叶的长宽比 | 4.0 | 4.9 | 5.2 | 4.1 | 5.7 | 8.5 | 7.9 | 6.3 | 7.7 | 7.9 |
B树树叶的长宽比 | 2.5 | 2.4 | 2.2 | 2.3 | 2.0 | 1.9 | 2.3 | 2.0 | 1.9 | 2.0 |
C树树叶的长宽比 | 1.1 | 1.2 | 1.2 | 0.9 | 1.0 | 1.0 | 1.1 | 0.9 | 1.0 | 1.3 |
表1 A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表
平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 | |
A树树叶的长宽比 | 6.2 | 6.0 | 7.9 | 2.5 |
B树树叶的长宽比 | 2.2 | 0.38 | ||
C树树叶的长宽比 | 1.1 | 1.1 | 1.0 | 0.02 |
A树、B树、C树树叶的长随变化的情况
解决下列问题:
(1)将表2补充完整;
(2)①小张同学说:“根据以上信息,我能判断C树树叶的长、宽近似相等。”
②小李同学说:“从树叶的长宽比的平均数来看,我认为,下图的树叶是B树的树叶。”
请你判断上面两位同学的说法中,谁的说法是合理的,谁的说法是不合理的,并给出你的理由;
(3)现有一片长103cm,宽52cm的树叶,请将该树叶的数用“★”表示在图1中,判断这片树叶更可能来自于A、B、C中的哪棵树?并给出你的理由。
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【题目】为了开展阳光体育运动,某市教体局做了一个随机调查,调查内容是:每天锻炼是否超过1h及锻炼未超过1h的原因.他们随机调查了600名学生,用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图(图1、图2).
根据图示,请回答以下问题:
(1)“没时间”的人数是 ,并补全频数分布直方图;
(2)2016年该市中小学生约40万人,按此调查,可以估计2016年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有 万人;
(3)在(2)的条件下,如果计划2018年该市中小学生每天锻炼未超过1h的人数降到7.5万人,求2016年至2018年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数;
(2)如果AD=5 cm,AP=8 cm,求△APB的周长.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,﹣2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出F点的坐标;若不存在,请说明理由.
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