Question

17．如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．
（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（$\frac{m}{2}$，3），从而求出梯形的面积．
（3）方法一、先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，-$\frac{3}{2}$m+9），最后根据勾股定理求出MN=$\sqrt{\frac{13}{4}（m-\frac{54}{13}）^{2}+\frac{324}{13}}$，从而确定出MN最小值和m的值．
方法二、由题意知，四边形NOMP为矩形，MN=OP，所以当OP⊥GH时，OP最短，即为MN最短．然后利用三角形等面积法求出OP最小值．

解答 解：（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），
∴点C的横坐标为4，BC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵A（2，6），
∴D（6，6），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+2，
∵点D在此抛物线上，
∴6=a（6-2）²+2，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+2=$\frac{1}{4}$x²-x+3，
（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）
∴E（$\frac{m}{2}$，3），
∴BE=$\frac{m}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（AF+BE）×3=$\frac{1}{2}$（m-2+$\frac{m}{2}$）×3=$\frac{9}{4}$m-3
∵点F（m，6）是线段AD上，
∴2＜m≤6，
即：S=$\frac{9}{4}$m-3（2＜m≤6）
（3）方法一、∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直线AC解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P
∴P（m，-$\frac{3}{2}$m+9），（2＜m≤6）
∴PN=m，PM=-$\frac{3}{2}$m+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，
∴∠MPN=90°，
∴MN=$\sqrt{P{N}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{3}{2}m+9）^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{4}（m-\frac{54}{13}）^{2}+\frac{324}{13}}$
∵2＜m≤6，
∴当m=$\frac{54}{13}$时，MN_最小=$\sqrt{\frac{324}{13}}$=$\frac{18\sqrt{13}}{13}$．
方法二、∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直线AC解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+9，
∴G（0，9），H（6，0），
∴GH=3$\sqrt{13}$，
由题意知，四边形NOMP为矩形，
∴MN=OP，
∴当OP⊥GH时，OP最短，即为MN最短，
∵S_△GOH=$\frac{1}{2}$OG•OH=$\frac{1}{2}$GH•OP_最小，
∴9×6=3$\sqrt{13}$×OP_最小，
∴OP_最小=$\frac{18\sqrt{13}}{13}$，
即：MN最小为$\frac{18\sqrt{13}}{13}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算方法，勾股定理的运用，解本题的关键是确定出点D的坐标，