Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2，双曲线经过点A．将△AOB绕点A顺时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的负半轴上，若AB的对应线段AC恰好经过点O．

（1）求点A的坐标和双曲线的解析式；

（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由

Answer 1

【答案】（1），双曲线的解析式为；（2）点在双曲线上，理由见解析.

【解析】

（1）根据旋转的性质和平行线的性质，得到，得到△AOD是等边三角形，根据特殊角的三角函数，求出点A的坐标，然后得到双曲线的解析式；

（2）先求出OC的长度，然后利用特殊角的三角函数求出点C的坐标，然后进行判断即可.

解：（1）过点A作轴，垂足为．

∵轴，

．

有旋转的性质可知，．

．

．

为等边三角形．

．

，

．

点的坐标为．

由题意知，，．

双曲线的解析式为：．

（2）点在双曲线上，理由如下：

过点作轴，垂足为．

由（1）知，．

．

．

，

．

点的坐标为．

将代入中，．

点在双曲线上．