Question

1．已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接AO并延长，交⊙O于点C，交PB于点D．
（1）如图1，直接写出图中两组相等的线段；
（2）如图2，连接PC，交⊙O于点E，若∠APC=∠ADB，求证：PB=2BD；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若CD=3，求弦BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理、圆的半径相等即可解决问题．
（2）只要证明△PAC∽△DBO，得$\frac{PA}{DB}$=$\frac{AC}{OB}$，由此即可证明．
（3）如图2中，作CM⊥PD于M，连接AB、OP、EB、BC、OB．想办法求出PB、BC、PC，由△PEB∽△PBC，推出$\frac{EB}{BC}$=$\frac{PB}{PC}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，相等的线段有PA=PB，OA=OC．

（2）如图1中，连接OB．

∵PA、PB是⊙O切线，
∴DA⊥PA，OB⊥PD，PA=PB，
∴∠CAP=∠OBD=90°，∵∠APC=∠D，
∴△PAC∽△DBO，
∴$\frac{PA}{DB}$=$\frac{AC}{OB}$，
∵AC=2OB，
∴PA=2BD，
∵PA=PB，
∴PB=2BD．

（3）如图2中，作CM⊥PD于M，连接AB、OP、EB、BC、OB．

∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∵PA=PB，OA=OB，
∴OP⊥AB，
∴BC∥OP，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{BD}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∵CD=3，
∴OC=6，OD=9，BD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵CM∥OB，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{DM}{DB}$，
∴DM=$\sqrt{5}$，BM=2$\sqrt{5}$，PB=2BD=6$\sqrt{5}$，
∴CM²=CD²-DM²=4，
∴PC=$\sqrt{P{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{5}）^{2}+4}$=18，BC=$\sqrt{C{M}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵∠EPB=∠CPB，∠PBE=∠PCB，
∴△PEB∽△PBC，
∴$\frac{EB}{BC}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴EB=$\frac{2\sqrt{6}×6\sqrt{5}}{18}$=$\frac{2\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查圆的综合题、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考，常考题型．