Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，将线段AD绕点D按逆时针方向旋转，旋转后交AC于点E，交BC于点F．

（1）若∠CAD＝30°，线段AD绕点D按逆时针方向旋转45°，且CE＝1，求AD；

（2）若∠CAD＝45°，线段AD绕点D按逆时针方向旋转30°，点M是线段DF上任意一点（M不与D重合），连接CM，将线段CM绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CN，连接AN交射线DE于点P，点G、H分别是AD、DE的中点，求证：CD＝CE+2CP．

Answer 1

【答案】（1）AD＝4+2；（2）见解析.

【解析】

（1）由直角三角形的性质可求AD＝（+1）HE，CD＝HE，AC＝HE，由CE＝AC﹣AE＝1，可求AD的长；

（2）如图2，连接CH，CP，MN，通过证明∴△ACN≌△DCM，△DGH≌△HPC，可得∠CDM＝∠CAN＝15°，GH＝PC，即可求解．

解：（1）过点E作EH⊥AD，

∵线段AD绕点D按逆时针方向旋转45°，

∴∠ADE＝45°，且EH⊥AD，

∴∠HED＝∠HDE＝45°，

∴HE＝HD，

∵∠DAC＝30°，HE⊥AD，∠ACD＝90°，

∴AH＝HE，AE＝2HE，AD＝2CD，AC＝CD，

∴AD＝（+1）HE，

∴CD＝HE，AC＝HE，

∵CE＝AC﹣AE＝（﹣2）HE＝1

∴HE＝+1，

∴AD＝（）2＝4+2

（2）如图2，连接CH，CP，MN，

∵线段AD绕点D按逆时针方向旋转30°，

∴∠ADH＝30°

∵∠CAD＝45°，AC⊥CD，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝CD，∠CDH＝15°，

∵将线段CM绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CN，

∴CM＝CN，∠MCN＝∠ACD＝90°，

∴∠MNC＝∠NMC＝45°，∠MCN﹣∠ACM＝∠ACD﹣∠ACM，

∴∠ACN＝∠DCM，且AC＝CD，CN＝CM，

∴△ACN≌△DCM（SAS）

∴∠CDM＝∠CAN＝15°，

∴∠APD＝180°﹣∠ADE﹣∠CAD﹣∠CAN＝180°﹣30°﹣45°﹣15°＝90°，

∴∠MPN＝∠MCN＝90°，

∴点M，点C，点N，点P四点共圆，

∴∠MPC＝∠MNC＝45°，

∵点 G，点H分别是AD，DE的中点，

∴AE＝2GH，AE∥GH，

∴∠DGH＝∠DAC＝45°，

∵∠ACD＝90°，点H是DE中点，

∴CH＝DH＝EH，

∴∠HCD＝∠HDC＝15°，

∴∠PHC＝30°，

∴∠PHC＝∠GDH＝30°，且CH＝DH，∠DGH＝∠HPC＝45°，

∴△DGH≌△HPC（AAS）

∴GH＝PC，

∴AE＝2GH＝2PC，

∴CD＝AC＝AE+CE＝CE+2CP．