Question

如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE=

 

．

Answer 1

分析：设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，根据切线长定理得到AF=AB=4a，EC=EF=x，在Rt△ADE中利用勾股定理可得到x与a的关系，从而可用a表示AE、DE，然后在Rt△ADE中，利用正弦函数的定义求解即可．

解答：解：设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，
∵AF为半圆O的切线，
∴AF=AB=4a，EC=EF=x，
在Rt△ADE中，DE=4a-x，AE=4a+x，
∴AE²=AD²+DE²，即（4a+x）²=（4a）²+（4a-x）²，
解得x=a，
∴AE=5a，DE=3a，
在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AE

=

3a

5a

=

3

5

．
故答案为

3

5

．

点评：本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了正方形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义．