Question

5．如图所示，AB是半圆的直径，∠ABC=90°，AC交半圆于点D．若AD=6，DC=2，求：
（1）点B到AC的距离；
（2）∠A的大小．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据圆周角定理和切割线定理求出BC的长，根据勾股定理求出BD的长，得到答案；
（2）根据正弦的概念和特殊角的三角函数值求出∠A的度数．

解答 解：（1）连接BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB是半圆的直径，∠ABC=90°，
∴BC为半圆的切线，
∴CB²=CD•CA，
∴CB=4，
则BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
（2）tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则∠A=30°．

点评 本题考查的是圆周角定理和切割线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、切线的判定定理好锐角三角函数的概念是解题的关键．