Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当∠BAC=60°，AB=8时，求EG的长；
（3）当AB=5，BC=6时，求tanF的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠C，证出OD∥AC，再由已知得出EF⊥OD，即可证出EF是⊙O的切线；
（2）连接BG、AD，由圆周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°，即BG⊥AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质得出BD=CD，证出△ABC是等边三角形，得出AC=AC=8，证出EF∥BG，由平行线得出CE：EG=CD：BD，证出CE=EG，由等腰三角形的性质得出CG=AG=$\frac{1}{2}$AC=4，即可得出EG的长；
（3）由等腰三角形的性质得出CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理求出AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，由三角函数求出sinC=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，得出DE=$\frac{4}{5}$CD=$\frac{12}{5}$，再由勾股定理求出AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，由平行线得出△ODF∽△AEF，得出对应边成比例求出DF=$\frac{60}{7}$，在Rt△ODF中，由三角函数定义即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接BG、AD，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=∠ADB=90°，
即BG⊥AC，AD⊥BC，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴BD=CD，△ABC是等边三角形，
∴AC=AC=8，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BG，
∴CE：EG=CD：BD，
∴CE=EG，
∵BG⊥AC，
∴CG=AG=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴EG=$\frac{1}{2}$CG=2；

（3）解：∵AD⊥BC，CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，sinC=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴DE=$\frac{4}{5}$CD=$\frac{4}{5}$×3=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{DF}{EF}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{16}{5}}=\frac{DF}{\frac{12}{5}+DF}$，
解得：DF=$\frac{60}{7}$，
在Rt△ODF中，OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴tanF=$\frac{OD}{DF}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{60}{7}}$=$\frac{7}{24}$．

点评 此题是圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．