Question

已知：如图，点N为△ABC的内心，延长AN交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．
（1）求证：EB=EN=EC；
（2）求证：NE²=AE•DE．

Answer 1

证明：（1）连接BN，
∵点N为△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠BCE=∠1，
∴EB=EC．
∵∠5与∠2都是弧EC所对的圆周角，
∴∠5=∠2=∠1．
∴∠4+∠5=∠3+∠1．
∵∠NBE=∠4+∠5，∠BNE=∠3+∠1，
∴∠NBE=∠BNE．
∴EB=EN．
∴EB=EN=EC．

（2）由（1）知∠5=∠2=∠1，∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB．
∴．
即BE²=AE•DE．
∵EB=EN，
∴NE²=AE•DE．
分析：点N为△ABC的内心，易证EB=EC，只需证明EB=EN，或EN=EC，可以通过等角对等边得出；欲证NE²=AE•DE，即证BE²=AE•DE，可以通过证明△BED∽△AEB得出．
点评：本题考查了三角形的外接圆与内心的知识，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．