Question

7．如图，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，点P在射线OB上，且OP=5，点Q是射线OA上一动点．将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处．
（1）当PC∥QA时，求折痕PQ的长；
（2）当PC⊥QA时，求OQ的长；
（3）点D在射线OA上，且OD=2.5，则CD的最小值为5-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①由平行线的性质得出∠O=∠CPB，由折叠的性质得出∠C=∠O，OP=CP，证出∠CPB=∠C，得出OP∥QC，证出四边形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=5；再利用锐角三角函数求出QM，OM即可得出PM，最后用勾股定理即可；
②当PC⊥QB时，分两种情况利用锐角三角函数和折叠的性质即可得出结论；
（3）先判断出CD最小时，点C在PD的延长线上，再用锐角三角函数和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）①如图1，当PC∥QB时，∠O=∠CPA，
由折叠的性质得：∠C=∠O，OP=CP，
∴∠CPA=∠C，
∴OP∥QC，
∴四边形OPCQ是平行四边形，
∴四边形OPCQ是菱形，
∴OQ=OP=5；
在Rt△OMQ中，OQ=5，sin∠AOB=$\frac{QM}{OQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴QM=3，根据勾股定理得，OM=4，
∴PM=OP-OM=1，
在Rt△PQM中，PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，

（2）当PC⊥QA时，分两种情况：

（i）如图2所示：设OQ=x，
∵sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，OP=5
∴PM=$\frac{3}{5}$×5=3，OM=4，
∴QM=4-x，
由折叠的性质得：∠AOB=∠C，CQ=OQ=x，
∴sin∠C=$\frac{QM}{CQ}$=$\frac{3}{5}$．，
∴CQ=$\frac{5}{3}$QM，
∴x=$\frac{5}{3}$（4-x），
解得：x=$\frac{5}{2}$
∴OQ=$\frac{5}{2}$；

（ii）如图3所示，同（i）得：OQ=10；
综上所述：当PC⊥QB时，OQ的长为$\frac{5}{2}$或10．


（3）如图4，
过点D作DE⊥OB于E，
在Rt△ODE中，OD=2.5，sin∠AOB=$\frac{DE}{OD}$=$\frac{DE}{2.5}$=$\frac{3}{5}$，
∴DE=$\frac{3}{2}$，
∴OE=2，
∴PE=OP-OE=3，
在Rt△PDE中，PD=$\sqrt{D{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴CD_最小=CP-PD=5-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：5-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，菱形的判定和性质，解（1）的关键是判定出四边形OPCQ是菱形，解（2）的关键是作出图形，利用锐角三角函数建立方程求解，解（3）的关键是判断出CD最小时，点C在PD的延长线上．