Question

【题目】如图，在RtABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．

（1）求证：点E是边BC的中点；

（2）求证：BC2＝BDBA；

（3）当AC＝BC时，四边形OCED是什么四边形，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形OCED是正方形，理由见解析

【解析】

（1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线，可求EC＝ED，再求得EB＝EC，EB＝ED，可知点E是边BC的中点；

（2）由AC是⊙O是直径，得到CD⊥AB，由于∠ACB＝90°，证得△BCD∽△BAC，得到
BC∶BA＝BD∶BC，即BC2＝BDBA，即可得到结论；

（3）当AC＝BC时，利用DE＝CE＝BC，OC＝AC，得到OD＝OC＝CE＝DE，再由∠OCE＝90°，于是可判定四边形OCED为正方形．

（1）证明：∵∠ACB=90°，DE是⊙O的切线

∴BC是⊙O的切线，即ED=EC

∴∠1=∠2

∵AC是⊙O的直径

∴∠ADC=∠BDC=90°

∴∠1+∠3=∠2+∠B=90°，即∠3=∠B

∴ED=EB，即ED=EB=EC

∴点E是边BC的中点

（2）由（1）可得：∠BDC=∠ACB=90°，∠B=∠B

∴△BCD∽△BAC

∴，即

（3）如图，连接OD，当AC=BC时，四边形OCED是正方形，理由如下：

由（1）得

∴DE=EC=OC=OD

∴四边形OCED是菱形

∵∠ACB=90°

∴四边形OCED是正方形．