Question

15．如图1，y=-x+6与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△AOB．

（1）求直线BC的解析式；
（2）直线EF：y=kx-k交AB于E点，与x轴交于D点，交BC的延长线于点F，且S_△BED=S_△FBD，求k的值；
（3）如图2，M（2，4），点P为x轴上一动点，AH⊥PM，垂足为H点．取HG=HA，连CG，当P点运动时，∠CGM大小是否变化，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点的坐标，再根据S_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△AOB可得出C点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）根据S_△BED=S_△FBD得出D为EF的中点，再用k表示出D点坐标，由点D在x轴上可得出k的值，进而得出D点坐标；
（3）连接CM，AM，AG，根据勾股定理的逆定理判断出△ACM是等腰直角三角形．再由AH⊥PM，HG=HA得出△AHG是等腰直角三角形，故可得出△ACM∽△AHG，再根据∠CAM=GAH=45°可知∠CAG=∠MAH，故可得出△MAH∽△CAG，所以∠GCA=∠AMH，A，C，M，G四点共圆，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵y=-x+6与坐标轴交于A、B两点，
∴A（6，0），B（0，6），
∴AO=BO=6．
∵S_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△AOB，
∴AO=3OC=6，
∴CO=2．
∴（-2，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=6\\-2k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=3\\ b=6\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=3x+6；

（2）∵S_△BED=S_△FBD，
∴D为EF的中点．
∵直线的解析式为y=kx-k，直线BC的解析式为y=3x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=kx-k\\ y=3x+6\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{k+6}{k-3}$，$\frac{3k+18}{k-3}$+6）；
同理，∵直线AB的解析式为y=-x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=kx-k\\ y=-x+6\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{k+6}{k+1}$，-$\frac{k+6}{k+1}$+6）．
由中点坐标公式得，$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{k+6}{k-3}+\frac{k+6}{k+1}）×\frac{1}{2}=x}\\{（\frac{3k+18}{k-3}+6-\frac{k+6}{k+1}+6）×\frac{1}{2}=y=0}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{3}{7}$，x=1，
∴D（1，0），k的值为$\frac{3}{7}$．

（3）不变化．
如图2，连接CM，AM，AG，
∵C（-2，0），M（2，4），A（6，0），
∴AC²=（6+2）²=64，CM²=（2+2）²+4²=32，AM²=（6-2）²+4²=32，
∴△ACM是等腰直角三角形．
∵AH⊥PM，HG=HA，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴△ACM∽△AHG，
∴$\frac{AM}{AH}$=$\frac{AC}{AG}$．
∵∠CAM=GAH=45°
∴∠CAG=MAH
∵$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AH}{AG}$，
∴△MAH∽△CAG，
∴∠GCA=∠AMH，
∴A，C，M，G四点共圆，
∴∠CGM=∠CAM=45°．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，难度较大．