Question

16．如图，己知抛物线y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求出点A，B，D的坐标；
（2）如图，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′，首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，列方程可以求出点A、B坐标，通过配方法可以求出顶点D坐标．
（2）如图点C向右平移4个单位得到点E，点E关于x轴的对称点F坐标（4，3），连接DF与x轴交于点B′，此时四边形CDB′O′周长最小，根据勾股定理即可计算．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=0，解得x=-2或4，
∴点A坐标（-2，0），点B坐标（4，0）．
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∴顶点D（1，-$\frac{27}{8}$）．
（2）如图点C向右平移4个单位得到点E，点E关于x轴的对称点F坐标（4，3），连接DF与x轴交于点B′，此时四边形CDB′O′周长最小，
此时四边形CDB′O′周长=CD+CB′+B′O′+CO′=CD+O′B′+DB′+B′F=CD+O′B′+DF
=$\sqrt{{1}^{2}+（-\frac{27}{8}+3）^{2}}$+4+$\sqrt{{3}^{2}+（-\frac{27}{8}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{8}$+4+$\frac{3\sqrt{353}}{8}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与几何变换、轴对称-最短问题等知识，第二个问题的关键是找到点O′、B′的位置，属于比较难的最短问题，中考常考题型．