Question

如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=a，P为底边BC上任一点，过P作PE∥AC交AB于E，PF∥AB交AC于F，
（1）求证：PE+PF=a；
（2）若将上述等腰△ABC改为等腰梯形ABCD（如图2），其中AD∥BC，AB=CD，AC与BD交于点O，P为BC边上任一点，PF∥BD交DC于F，PE∥AC交AB于E，设梯形的对角线长为a，则（1）中的结论是否还成立，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知先得四边形AEPF是平行四边形，则得PF=AE，再由等腰三角形的性质及平行线的性质得出PE=BE，从而得证；
（2）过点P作PG∥CD交BD于点G，通过证四边形PGDF为平行四边形和△BPE≌△PBG，得出结论．
解答：（1）证明：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴∠EBP=∠C，四边形AEPF是平行四边形，
∴PF=AE，
已知等腰△ABC，
∴∠EPB=∠C=∠B，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB，
∴PE+PF=a．

（2）解：（1）中的结论还成立．
过点P作PG∥CD交BD于点G，
已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠GBP=∠ACB，
∵PE∥AC，
∴∠EPB=∠ACB，
∴∠GBP=∠EPB，
又∵PG∥CD，
∴∠GPB=∠DCB=∠ABC，
即∠GPB=∠EBP，
BP=PB，
∴△BPE≌△PBG，
∴PE=BG，
PG∥CD，PF∥BD，
∴四边形PGDF为平行四边形，
∴PF=DG，
∴PE+PF=BG+DG=AD=a，
所以（1）中的结论还成立．
点评：此题考查的知识点是等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质及等腰梯形的性质，关键是通过证平行四边形和三角形全等得出结论．