Question

10．如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN，NP=2，PC=3．
（1）求证：PC=AN；
（2）求BC的长；
（3）在直线BM上有一动点G，当CG+QG最短时，求BG的长度．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△AQP≌△MNA，AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN．
（2）思想证明BC=BQ，设BC=BQ=x，在Rt△ABC中，根据AB²=AC²+BC²，列出方程即可解决问题．
（3）如图连接CQ交BM于G，此时GQ+GC的值最小．根据勾股定理求出PB，再根据S_△PBC=$\frac{1}{2}$•BC•PC=$\frac{1}{2}$•PB•CG，求出CG，利用勾股定理求出BG即可．

解答 证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=∠ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
在△PQA与△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAQ=∠AMN}\\{AQ=MN}\\{∠AQP=∠ANM}\end{array}\right.$，
∴△PQA≌△ANM，
∴AN=PQ  AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN．

（2）∵NP=2，PC=AN=3，
∴AP=AM=5，
在Rt△ANM中，NM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AQ=MN=4，
在Rt△BPQ和Rt△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{PQ=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPQ≌△BPC，
∴BC=BQ，设BC=BQ=x，
在Rt△ABC中，∵AB²=AC²+BC²，
∴（x+4）²=8²+x²，
∴x=6，
∴BC=6．

（3）如图连接CQ交BM于G，此时GQ+GC的值最小．
∵BC=BQ，PC=PQ，
∴PB垂直平分CQ，
在Rt△BCP中，PB=$\sqrt{B{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵S_△PBC=$\frac{1}{2}$•BC•PC=$\frac{1}{2}$•PB•CG，
∴CG=$\frac{6×3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题是考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质等重要知识点，解题时，需要认真分析题意，以图形的全等为主线寻找解题思路，学会要面积法求高．属于中考常考题型．