Question

20．直线y=-$\frac{4}{3}$x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x²-4x+5上的一点M（3，2）．
（1）求点M到直线AB的距离；
（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可设点M到直线AB的距离的直线解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，根据待定系数法可求直线解析式，再联立两个直线解析式求得交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（2）可设与直线y=-$\frac{4}{3}$x-4平行的直线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+m，代入抛物线根据判别式得到直线解析式，进一步得到交点坐标，再根据面积公式即可求解．

解答 解：（1）设点M到直线AB的距离的直线解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，则
2=$\frac{3}{4}$×3+b，
解得b=-$\frac{1}{4}$，
∴直线解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
联立两个直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{5}}\\{y=-\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
则点M到直线AB的距离为$\sqrt{（3+\frac{9}{5}）^{2}+（2+\frac{8}{5}）^{2}}$=6；
（2）设与直线y=-$\frac{4}{3}$x-4平行的直线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+m，
代入抛物线得x²-4x+5=-$\frac{4}{3}$x+m，即3x²-8x+（15-3m）=0，
△=64-4×3（15-3m）=0，
解得m=$\frac{29}{9}$，
则9x²-24x+16=0，
解得x=$\frac{4}{3}$，
则y=（$\frac{4}{3}$）²-4×$\frac{4}{3}$+5=$\frac{13}{9}$，
则交点P的坐标（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{9}$），
则△PAB面积的最小值=（3+$\frac{4}{3}$）×（4+$\frac{13}{9}$）-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{4}{3}$）×$\frac{13}{9}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×（4+$\frac{13}{9}$）=$\frac{325}{6}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，函数的图象，三角形的面积的应用，能求出一次函数的解析式是解此题的关键，数形结合思想的运用．