Question

【题目】如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°．D为射线BC上一动点．连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至点E，连接AE、DE．点M、N分别是AB、DE的中点，连接MN．

(1)如图1，点D在线段BC上．

①猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想；

②连接EB，猜想BE与BC的位置关系；

(2)在图2中，若点D在线段BC的延长线上，BE与BC的位置关系是否改变？请你补全图形后，证明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)①垂直，证明见解析；②垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析.

【解析】

（1）①先判断出AD＝AN，AC＝AM，进而得出，判断出△CAD∽△MAN，即可得出结论；

②先判断出MN是AB的中垂线，得出AN＝BN，再判断出AN＝DN＝EN＝DE，进而得出DN＝EN＝BN，最后用三角形的内角和即可得出结论；

（2）分两种情况，同（1）②的方法，即可得出结论．

(1)①垂直，

理由：如图1，

由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°，

∵点N是DE的中点，

∴∠DAN＝∠∠DAE＝45°，∠AND＝90°，

∴AD＝AN，

∴＝，

在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°，AB＝AC，

∵M是AB的中点，

∴AM＝AB＝AC，

∴AC＝AM，

∴，

∴，

∵∠DAN＝∠BAC＝45°，

∴∠CAD＝∠MAN，

∴△CAD∽△MAN，

∴∠AMN＝∠ACD＝90°，

∴MN⊥AB；

②垂直；

理由：如图2，

连接AB，BN，由①知，MN⊥AB，

∵M是AB的中点，

∴MN是AB的中垂线，

∴AN＝BN，

由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴点N是DE的中点，

∴AN＝DN＝EN＝DE，

∴DN＝EN＝BN，

∴∠BDN＝∠DBN，∠BEN＝∠EBN，

∵∠BDE+∠BED+∠DBE＝180°，

∴∠BDN+∠BEN+∠DBN+∠EBN＝2∠DBN+2∠EBN＝2(∠DBN+∠EBN)＝2∠DBE＝180°，

∴∠DBE＝90°，

∴BE⊥BC；

(2)关系不改变，DE⊥BC，

理由：当CD＜AC时，如图3，

同(1)②的方法；

当CD＞AC时，如图4，

同(1)②的方法．