Question

情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是        ，∠CAC′=          °．

问题探究 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=" k" AE，AC=" k" AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.                                                                                  

Answer 1

情境观察
AD（或A′D），90  ………2分
问题探究
结论：EP=FQ.  ……………………………3分
证明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ.  ∴EP="FQ." …………………………………7分

拓展延伸
结论：HE=HF.  ……………………………8分
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .
同理△ACG∽△FAQ，∴ =.
∵AB=" k" AE，AC=" k" AF，∴ = = k，∴ . ∴EP="FQ."
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE="HF" …………………12分

解析