Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D、E分别是边BC、AB的中点，P是BC边上的动点（不与B、C重合）．设BP=x．
（1）当x=6时，求PE的长；
（2）当△BPE是等腰三角形时，求x的值；
（3）当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何综合题

分析：（1）根据等腰三角形的性质得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6时，点P在D点处，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=

1

2

AB=5；
（2）先得到BE=5，再分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EM∥AD得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=

1

2

BE=

5

2

，再证明Rt△BPN∽Rt△BAD，理由相似可计算出PB=

25

6

，即x=

25

6

；
（3）EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=

1

2

BD=3，AF=DF=

1

2

AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=

1

2

DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出OE=

13

，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比计算出OH=

18

5

，再比较OE与OH的大小，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．

解答：解：（1）∵AB=AC=10，BC=12，D为边BC的中点，
∴BD=CD=6，AD⊥BC，
∴当x=6时，点P在D点处，
∴PE为Rt△ABD斜边上的中线，
∴PE=

1

2

AB=5；

（2）∵点E为AB的中点，
∴BE=5，
当BP=BE=5，则x=5；
当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，则BM=PM，
∵点E为AB的中点，
而EM∥AD，
∴M点为BD的中点，
∴PB=BD=6，
∴x=6；
当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，则BN=EN=

1

2

BE=

5

2

，
∵∠PBN=∠DBA，
∴Rt△BPN∽Rt△BAD，
∴PB：AB=BN：BD，即x：10=

5

2

：6，
∴x=

25

6

，
综上所述，当△BPE是等腰三角形时，x的值为5或6或

25

6

；

（3）以EP为直径的圆与直线AC相交．理由如下：
EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
∴AD=

AB2-BD2

=8，
∵点E为AB的中点，
而EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=

1

2

BD=3，AF=DF=

1

2

AD=4，
∵AD平分EP，
∴OE=OP，
在△OEF和△OPD中

∠EFO=∠PDO ∠EOF=∠POD OE=OP

，
∴△OEF≌△OPD，
∴OF=OD，
∴OF=

1

2

DF=2，
∴AO=AF+OF=6，
在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，
∴OE=

EF2+OF2

=

13

，
∵∠OAH=∠CAD，
∴Rt△AOH∽Rt△ACD，
∴OH：CD=AO：AC，即OH：6=6：10，解得OH=

18

5

，
∵OE=

13

=

5 13

5

=

325

5

，OH=

18

5

=

182

5

=

324

5

，
∴OE＞OH，
∴以EP为直径的圆与直线AC相交．

点评：本题是圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法和等腰三角形的性质；利用三角形全等解决线段相等的问题；利用三角形相似求线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．