Question

8．如图，已知BC为⊙O的弦，点A是⊙O内一点，连接AB，AC，AO，AB=AC
（1）如图1，求证：AO平分∠BAC
（2）如图2，延长BA交⊙O于点D，过点D、C作⊙O的切线交于点E，求证：∠ADE+∠ACE=180°．
（3）如图3，在（2）的条件下，若CE∥BD，AD=1，BC=2$\sqrt{3}$，求线段OA的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA，OB，OC，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，由△OBM≌△OCN，推出OM=ON，根据角平分线的判定定理即可证明．
（2）由ED、EC是⊙O切线，推出OD⊥DE，OC⊥EC，推出∠ODE=90°，∠OCE=90°，推出∠E+∠DOC=180°，由∠DOC=2∠B，AB=AC，∠B=∠ACB，推出∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，推出∠E+∠DAC=180°，即可证明∠ADE+∠ACE=180°．
（3）如图3中，连接AO延长AO交BC于N，连接CO，延长CO交AB于M，连接CD、AE、OE．首先证明A、C、E、D四点共圆，推出四边形ADEC是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，CB=CD，由（1）可知OC平分∠BCA，CM⊥BD，AN⊥BC，AE∥BC，推出AE⊥OA，设MB=MD=x，则AM=x-1，AC=2x-1，根据CM²=BC²-BM²=AC²-AM²，列出方程求出x，再根据△AOE∽△MAC，得$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AE}{CM}$，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OA，OB，OC，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．

∵AB=AC，OB=OC，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，
∴∠OBM=∠OCN，
在△OBM和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMB=∠ONC}\\{∠OBM=∠OCN}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴OM=ON，∵OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∴OA平分∠BAC．

（2）证明：如图2中，连接OD、OC．

∵ED、EC是⊙O切线，
∴OD⊥DE，OC⊥EC，
∴∠ODE=90°，∠OCE=90°，
∴∠E+∠DOC=180°，
∵∠DOC=2∠B，AB=AC，∠B=∠ACB，
∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，
∴∠E+∠DAC=180°，
∴∠ADE+∠ACE=180°．

（3）解：如图3中，连接AO延长AO交BC于N，连接CO，延长CO交AB于M，连接CD、AE、OE．

∵∠ADE+∠ACE=180°，
∴A、C、E、D四点共圆，
∵AD∥EC，
∴AC=DE，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
∴DC=AE，
∵ED=EC=AC=AB，EC∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴BC=AE=CD=2$\sqrt{3}$，
∵CB=CD，
由（1）可知OC平分∠BCA，CM⊥BD，
∵AN⊥BC，AE∥BC，
∴AE⊥OA，设MB=MD=x，则AM=x-1，AC=2x-1，
∵CM²=BC²-BM²=AC²-AM²，
∴（2$\sqrt{3}$）²-x²=（2x-1）²-（x-1）²，
解得x=2或-$\frac{3}{2}$（舍弃），
∴AM=1，AC=3，CM=2$\sqrt{2}$，
∵∠EAO=∠AMC，∠ACM=∠AEO，
∴△AOE∽△MAC，
∴$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AE}{CM}$，
∴$\frac{AO}{1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、等腰梯形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．