Question

已知抛物线y=﹣x²+bx+c的对称轴为直线x=1，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．△ABC的面积等于1.5.

（1）请求出抛物线的解析式,并求出点A的坐标.

（2）在抛物线上是否存在点M，使得△MAB的面积等于△ABC的面积.如果存在，求出符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．

①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上.请求出此时点Q的坐标和直线BQ的函数解析式；

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）        A（0 ，4 ）

 （2） ( －3, －1 )      ( 4,3/4)

   （3）①Q（4，0）    直线BQ的解析式为：y=-x+4；

②P1（1+，），P2（1+3，-），P3（1-，），

P4（1-3，-）

【解析】（1）有抛物线的对称轴方程可求出b的值，通过△ABC的面积求得c的值，进而求出抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）假设在抛物线上是存在点M，使得△MAB的面积等于△ABC的面积，那么利用同底的三角形，只要证明点C到AB的距离等于M到AB的距离即可，解得。

（3）由题中条件可知点C的横坐标为顶点B的横坐标，然后利用E点与PQ共线得到点E的横坐标，然后借助于直角三角形的垂直关系，可知道点Q的坐标，从而得到直线BQ的方程，同理可知道点P的坐标。

（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．

②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．