Question

11．如图，在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，顺时针作∠PBQ=2∠ABC，另一边交AE于点Q．
（1）当点P在点A右侧时，求证：AQ+AP=2AC；
（2）当点P在点A左侧时，AQ、AP、AC三条线段的数量关系为AQ-AP=2AC．（不证明）

Answer 1

分析 （1）作BM⊥AE垂足为M，先证明△ABM≌△ABC得∠PBQ=∠CBM=2∠ABC，推出∠MBQ=∠PBC再证明△BCP≌△BMQ得MQ=PC，根据线段和差定义即可证明．
（2）结论是AQ-AP=2AC，证明方法类似（1）．

解答 证明：（1）如图1，作BM⊥AE垂足为M，
∵BC⊥AF，
∴∠BMA=∠BCA=90°，
在△ABM和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMA=∠BCA}\\{∠BAM=∠BAC}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ABC，
∴∠ABM=∠ABC，AM=AC，BM=BC，
∵∠PBQ=2∠ABC，
∴∠PBQ=∠CBM，
∴∠CBP=∠MBQ，
在△BCP和△BMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠QBM}\\{BC=BM}\\{∠BCP=∠BMQ}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BMQ，
∴QM=PC，
∴AQ+AP=（AM+MQ）+（AC-PC）=2AC．
（2）结论：AQ-AP=2AC，理由如下：
如图2，作BM⊥AE垂足为M，
∵BC⊥AF，
∴∠BMA=∠BCA=90°，
在△ABM和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMA=∠BCA}\\{∠BAM=∠BAC}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ABC，
∴∠ABM=∠ABC，AM=AC，BM=BC，
∵∠PBQ=2∠ABC，
∴∠PBQ=∠CBM，
∴∠CBP=∠MBQ，
在△BCP和△BMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠QBM}\\{BC=BM}\\{∠BCP=∠BMQ}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BMQ，
∴QM=PC，
∴AQ-AP=（AM+QM）-（PC-AC）=2AC．
故答案为AQ-AP=2AC．

点评 本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，掌握这类问题的辅助线的添法是解题的关键．