【题目】如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC=,点 M 在 AC 上,且 AM=AC,连接并延长 BM 交 AD 于点 N.
(1)求证:△ABC∽△AMB;
(2)求 MN 的长.
【答案】(1)见解析;(2)MN=.
【解析】
(1)在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC的长度,进而可得出AM的长度,由AB、AM、AC的长度可得出=,结合∠BAM=∠CAB即可证出△ABC∽△AMB;
(2)由△ABC∽△AMB可得出∠BMA=90°=∠BAN,利用勾股定理可求出BM的长度,结合∠ABM=∠NBA可证出△ABM∽△NBA,根据相似三角形的性质即可求出MN的长度.
(1)在 Rt△ABC 中,AB=1,BC=,
∴AC=2.
∵AM= AC,
∴AM= ,
∴== .
又∵∠BAM=∠CAB,
∴△ABC∽△AMB.
(2)解:∵△ABC∽△AMB,
∴∠BMA=∠CBA=90°=∠BAN,
∴BM==.
又∵∠ABM=∠NBA,
∴△ABM∽△NBA,
∴=,即 = , 解得:MN=.
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【题目】点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在某函数图象上,且当x1<x2<0时,y1>y2,则此函数一定不是( )
A. B. y=﹣2x+1 C. y=x2﹣1 D.
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【题目】如图,长方形的长为15,宽为10,高为20,点离点的距离为5,蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点爬到点,需要爬行的最短距离是( )
A.35B.C.25D.
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【题目】如图,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)QD为PB边上的中线,若AQ=4,CQ=2,求QD的值.
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【题目】如图,将正方形 ABCD 折叠,折痕交边 AB,CD 分别于点 E,F,顶点 A 落在 BC 边上的 M 点,边 AD 折叠后与边 CD 交于点 N,如果 BE=2,正方形ABCD 的周长为 20,则 CN 的长为( )
A. (﹣1) B. 2( ﹣1) C. (5 ﹣13) D. ﹣2
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【题目】如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡逻,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船 C,此时,B 船在A 船的正南方向 15 海里处,A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向,B 船测得渔船 C 在其南偏东 53°方向,已知 A 船的航速为 30 海里/小时,B 船的航速为 25 海里/小时,问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈ 4 , 1.41 )
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,∠D=2∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:DE=DC;
(3)若OD=5,CD=3,求AC的长.
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