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【题目】如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( )

A. 2 B. 8 C. 2 D. 2

【答案】D

【解析】连结BE,设⊙O的半径为R,由OD⊥AB,根据垂径定理得AC=BC=AB=4,在Rt△AOC中,OA=R,OC=R-CD=R-2,根据勾股定理得到(R-2)2+42=R2,解得R=5,则OC=3,由于OC为△ABE的中位线,则BE=2OC=6,再根据圆周角定理得到∠ABE=90°,然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE.

解:连结BE,设⊙O的半径为R,如图所示,

∵OD⊥AB,

∴AC=BC=AB=×8=4,

在Rt△AOC中,OA=R,OC=R-CD=R-2,

∵OC2+AC2=OA2

∴(R-2)2+42=R2,解得R=5,

∴OC=5-2=3,

∴BE=2OC=6,

∵AE为直径,

∴∠ABE=90°,

在Rt△BCE中,

考点: 1.垂径定理;2.勾股定理;3.三角形中位线定理;4.圆周角定理.

“点睛”本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

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根据正方形的性质和角平分线的性质,得出PE=PF,
再证明△PEQ≌△PFB,可得出结论,他的结论应是
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